I numeri di Love mareali.

 

I numeri di Love mareali.

Figura 1 - Immagine artistica AI generated con prompt originale di una luna ghiacciata che orbita attorno ad un primario roccioso. Credit: Girina Emiliano/Deep Dream https://deepdreamgenerator.com/ddream/m61j993iz2p

Questo articolo nasce dalla lettura di un interessante articolo scientifico: Beuthe, Mikael. "Tidal Love numbers of membrane worlds: Europa, Titan, and Co." Icarus 258 (2015): 239-266.

Questo articolo espone un nuovo approccio per la determinazione dei numeri di Love mareali. Questi quantificano la risposta di un corpo sfericamente simmetrico alle maree o ai cambiamenti nella rotazione o nell'orientamento. Il loro calcolo è necessario per tutte quelle applicazioni in cui intervengono deformazioni globali: tettonica mareale o di despinning, riscaldamento mareale, vero polo errante, correnti mareali negli oceani sotterranei.

I numeri di Love (h, k ed l: radiale, gravitazionale e tangenziale) sono parametri adimensionali che misurano la rigidità di un corpo planetario o di un altro oggetto gravitante e la suscettibilità della sua forma a cambiare in risposta a un potenziale di marea esterno o ad un carico. Sono utilizzati, ad esempio,  per descrivere come una luna si deforma a causa delle forze gravitazionali del suo primario e del Sole. Il numero di Love h rappresenta lo spostamento verticale (radiale) della superficie terrestre, mentre il numero di Love k rappresenta la dilatazione cubica, ovvero l'aumento del volume del corpo. Infine, il numero di Love l descrive lo spostamento orizzontale (trasversale) della crosta terrestre.

·         Il numero di Love h è definito come il rapporto tra la marea del corpo e l'altezza della marea di equilibrio statico. È anche definito come lo spostamento verticale (radiale) o la variazione delle proprietà elastiche del pianeta. Per una Terra solida ipotetica, h = 0. Per una Terra liquida, ci si aspetterebbe h = 1. Tuttavia, la deformazione della sfera fa sì che il campo potenziale cambi, e quindi deformi la sfera ancora di più. Il massimo teorico è h = 2.5. Per la Terra reale, h si trova tra 0 e 1.

·         Il numero di Love k è definito come la dilatazione cubica o il rapporto tra il potenziale aggiuntivo (self-reactive force) prodotto dalla deformazione del potenziale di deformazione. k = 0 per un corpo rigido.

·         Il numero di Love l rappresenta il rapporto tra lo spostamento orizzontale (trasversale) di un elemento di massa della crosta del pianeta e quello della marea oceanica statica corrispondente. Come per h e k, l = 0 per un corpo rigido.

Approcci con membrana con e senza massa: una panoramica

Nel documento Beuthe discute due approcci per modellare le deformazioni di marea nei satelliti ghiacciati con oceani sottosuperficiali, noti anche come "mondi a membrana": l'approccio a membrana senza massa e l'approccio a membrana massiva. Entrambi gli approcci trattano lo strato superficiale (crosta di ghiaccio) come una membrana sopra un oceano liquido, ma differiscono nel modo in cui rappresentano la massa e le proprietà della crosta. Comprendere i pro e i contro di ogni approccio è fondamentale per selezionare il metodo di modellazione appropriato per scenari specifici.

Approccio con membrana senza massa

L'approccio a membrana senza massa, come presentato dall’autore semplifica il modello considerando una membrana di spessore zero e senza contrasto di densità tra la crosta e l'oceano. Questo approccio assume anche che le maree siano statiche, il che significa che ignora gli effetti inerziali dovuti al movimento dei fluidi.

Questo approccio, sebbene semplificato, offre una formulazione flessibile in termini di numeri di Love, rendendolo adatto per analisi preliminari e per la comprensione dei concetti chiave. Tuttavia, presenta alcuni inconvenienti significativi:

• Incapacità di tenere conto del contrasto di densità crosta-oceano: questa semplificazione, sebbene conveniente, limita l'accuratezza del modello, specialmente per satelliti come Titano, per il quale le misurazioni suggeriscono che l’oceano sia denso. L'influenza della differenza di densità diventa particolarmente evidente quando si esamina il fattore di inclinazione, un parametro utilizzato per stimare lo spessore della crosta.
• Rappresentazione imprecisa della compressibilità della crosta: l'approccio presume che le superfici superiore e inferiore della crosta si deformino in modo identico, portando a una descrizione imprecisa degli effetti della compressibilità.

Approccio con membrana massiva

In risposta alle limitazioni dell'approccio senza massa, il documento introduce l'approccio a membrana massiva. Questo metodo tiene conto dello spessore finito della crosta e del contrasto di densità al confine crosta-oceano. Include anche la compressibilità della crosta utilizzando un fattore di compressibilità, v, che è assente nel modello senza massa.

Beuthe sostiene che l'approccio a membrana massiva offra diversi vantaggi rispetto al suo predecessore:

• Maggiore accuratezza: considerando il contrasto di densità e la compressibilità, il modello massivo migliora significativamente l'accuratezza delle previsioni del numero di Love, in particolare per scenari che coinvolgono croste sottili.
• Applicabilità a maree dinamiche: a differenza del modello statico senza massa, l'approccio a membrana massiva consente il calcolo dei numeri di Love dinamici, che tengono conto degli effetti inerziali all'interno dell'oceano. Questa capacità diventa cruciale quando si studiano satelliti con oceani potenzialmente poco profondi, in cui le forze dinamiche possono influenzare in modo significativo le deformazioni di marea.
• Migliore rappresentazione degli effetti reologici: il modello massivo integra la reologia della crosta (la sua risposta allo stress nel tempo) attraverso parametri viscoelastici effettivi, consentendo una modellazione più realistica del comportamento della crosta.

Quindi:

Mentre l'approccio a membrana senza massa fornisce una struttura iniziale per comprendere le deformazioni di marea in "mondi a membrana", la sua accuratezza è limitata dalle ipotesi semplicistiche. L'approccio a membrana massiva affronta queste limitazioni incorporando il contrasto di densità della crosta, la compressibilità e gli effetti dinamici, rendendolo un metodo più completo e preciso per studiare le deformazioni di marea nei satelliti ghiacciati. La scelta tra i due approcci dipende infine dalla specifica domanda di ricerca e dalle esigenze di accuratezza. Questo è importante perché spesso uno stesso fenomeno può essere descritto con modelli o teorie diverse a seconda delle condizioni o delle risposte che si stanno cercando. È importante ricordare che i modelli e le teorie hanno un campo di validità antro il quale possono essere utilizzati. Si pensi, ad esempio alla gravità che, a seconda dei casi, è preferibile descrivere come una forza classica (newtoniana) o una deformazione dello spaziotempo (einsteniano).

Il Fattore di Inclinazione e la sua Relazione con i Numeri di Love Mareali

Il fattore di inclinazione è un parametro geofisico cruciale che quantifica la riduzione dell'ampiezza della marea superficiale in un corpo celeste, come un satellite ghiacciato, dovuta alla deformazione del suo interno, in particolare del fondo dell'oceano sotto la crosta. In sostanza, descrive come la deformazione del fondale oceanico riduce l'ampiezza della marea (la sua inclicazione) che sarebbe osservata se l'oceano non avesse fondo, ovvero se poggiasse su un nucleo infinitamente rigido.

Questo fattore è intimamente legato ai numeri di Love mareali e in particolare può, molto semplificando, essere espresso in funzione dei numeri di Love k ed h; gravitazionale e radiale. Un fattore di inclinazione pari a 1 indica che non c'è riduzione della marea superficiale, il che significa che l'oceano non si deforma e il nucleo sottostante è perfettamente rigido. Un fattore di inclinazione inferiore a 1, invece, implica che l'oceano si deforma insieme alla crosta, riducendo l'ampiezza della marea osservata.

Importanza del Fattore di Inclinazione:

Il fattore di inclinazione è particolarmente utile per stimare lo spessore della crosta ghiacciata nei satelliti con oceani sottosuperficiali. Una crosta più sottile si deforma più facilmente sotto l'influenza delle maree, portando a un fattore di inclinazione più piccolo. Misurarlo accuratamente può quindi fornire preziose informazioni sullo spessore della crosta, un parametro fondamentale per comprendere la struttura interna, l'evoluzione e l'abitabilità potenziale di questi satelliti.

Fattori che Influenzano il Fattore di Inclinazione:

È importante notare che il fattore di inclinazione non dipende solo dallo spessore della crosta, ma anche da altri fattori, tra cui:

• Proprietà dell'oceano: densità, stratificazione e viscosità dell'oceano.
• Struttura del mantello: rigidità e densità del mantello sottostante.
• Effetti dinamici: i movimenti dei fluidi nell'oceano, soprattutto in oceani poco profondi, possono influenzare il fattore di inclinazione.

La corretta interpretazione del fattore di inclinazione richiede quindi di considerare tutti questi fattori.

Le principali conclusioni a cui giunge lo studio sono:

• Miglioramento rispetto all'approccio senza massa: L'approccio a membrana massiva supera le limitazioni del precedente approccio senza massa, in particolare per quanto riguarda la considerazione del contrasto di densità tra la crosta e l'oceano, un fattore cruciale per la precisione del calcolo, specialmente per il fattore di inclinazione (tilt factor).
• Importanza della compressibilità della crosta: Lo studio evidenzia l'importanza di includere la compressibilità della crosta nei calcoli, dimostrando che essa ha un effetto significativo sul fattore di inclinazione e sui numeri di Love mareali.
• Fattorizzazione dei contributi della crosta e dell'interno profondo: L'approccio a membrana massiva consente di separare i contributi della crosta e dell'interno profondo ai numeri di Love mareali. Ciò semplifica l'analisi dell'influenza di diverse strutture interne.
• Validità dell'approssimazione del mantello rigido: Lo studio dimostra che, nella maggior parte dei casi, è ragionevole approssimare il sistema nucleo-mantello come infinitamente rigido. Tuttavia, l'effetto viscoelastico di un grande nucleo liquido, come quello di Europa, può essere incluso nel modello a due strati considerando un modulo di taglio equivalente per il sistema nucleo-mantello.
• Effetti dinamici e risonanza: Lo studio esplora anche gli effetti dinamici sulle maree, dimostrando l'esistenza di una risonanza dinamica per oceani poco profondi. Questa risonanza, che si verifica quando lo spessore dell'oceano è vicino alla lunghezza d'onda della marea, può aumentare significativamente le deformazioni mareali e il riscaldamento mareale nella crosta.

In sintesi, lo studio fornisce un modello matematico più accurato e completo per il calcolo dei numeri di Love mareali nei mondi membrana, considerando fattori cruciali come la compressibilità della crosta, il contrasto di densità crosta-oceano e gli effetti dinamici. Questo modello è fondamentale per migliorare la nostra comprensione della struttura interna, dell'evoluzione e dell'abitabilità potenziale di questi affascinanti corpi celesti che proprio ora che scrivo ci stiamo accingendo a visitare con nuove e avanzatissime missioni spaziali.

Siate curiosi

Emiliano Girina 15/09/2024 E.V.